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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcular.
b) $\int\left(x^{3}+5 x^{2}+(5 x-1)^{9}\right) dx$
b) $\int\left(x^{3}+5 x^{2}+(5 x-1)^{9}\right) dx$
Respuesta
Primero, separamos la integral en tres partes:
Reportar problema
$
\int \left(x^3 + 5x^2 + (5x - 1)^9\right) dx = \int x^3 \, dx + \int 5x^2 \, dx + \int (5x - 1)^9 \, dx
$
Calculamos cada integral por separado.
Para la primera parte:
$
\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}
$
Para la segunda parte:
$
\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx = 5 \left(\frac{x^3}{3}\right) = \frac{5x^3}{3}
$
Para la tercera parte, usamos la sustitución \(u = 5x - 1\). Entonces, \(du = 5 \, dx\) o \(dx = \frac{du}{5}\).
La integral se convierte en:
$
\int (5x - 1)^9 \, dx = \int u^9 \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int u^9 \, du = \frac{1}{5} \left(\frac{u^{10}}{10}\right) = \frac{u^{10}}{50}
$
Sustituyendo \(u = 5x - 1\):
$
\frac{(5x - 1)^{10}}{50}
$
Combinamos:
$
\int \left(x^3 + 5x^2 + (5x - 1)^9\right) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + \frac{(5x - 1)^{10}}{50} + C
$
Por lo tanto, la solución final es:
$
\int \left(x^3 + 5x^2 + (5x - 1)^9\right) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + \frac{(5x - 1)^{10}}{50} + C
$